К расчету приближенных симметрий дробно-дифференциальных уравнений

Предлагается новый алгоритм нахождения приближенных симметрий для дробно-дифференциальных уравнений с производными типа Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто, порядок которых близок к целому. Алгоритм основан на разложении дробной производной в ряд по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. В линейном приближении такое разложение содержит нелокальный интегро-дифференциальный оператор с логарифмическим ядром.
В результате исходное дробно-дифференциальное уравнение приближается интегро-дифференциальным уравнением с малым параметром, для которого могут быть найдены приближенные симметрии. Доказывается теорема о виде продолжения однопараметрической группы точечных преобразований на новую переменную, порождаемую нелокальным оператором, входящим в разложение дробной производной. Знание такого продолжения позволяет применить к рассматриваемому уравнению приближенный критерий инвариантности.
Предлагаемый алгоритм иллюстрируется на задаче нахождения приближенных симметрий для нелинейного дробно-дифференциального уравнения фильтрации субдиффузионного типа. Показано, что размерность алгебры приближенных симметрий такого уравнения оказывается существенно больше размерности алгебры точных симметрий, что открывает возможность построения большого числа приближенно инвариантных решений. Также на примере линейного дробно-дифференциального уравнения субдиффузии показывается, что алгоритм дает принципиальную возможность находить нелокальные приближенные симметрии определенного вида.