О колеблемости решений квазилинейных дифференциальных уравнений типа Эмдена–Фаулера высокого порядка

Исследуется существование и поведение колеблющихся решений нелинейных уравнений с регулярной и сингулярной степенной нелинейностью. В частности, доказывается существование колеблющихся решений уравнения
\begin{gather*} y^{(n)}+P(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})|y|^k\ {\rm sign}\,y=0,\\ n\ge 2,\,\,\,k\in \mathbb {R},\,\,\, k>1,\,\,\, P\neq0,\,\,\,\, P\in C(\mathbb{R}^{n+1}). \end{gather*}
Приводится критерий колеблемости всех решений квазилинейного уравнения четного порядка
\begin{gather*} y^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1}a_{j}(x)\;y^{(i)}+p(x)\;|y|^{k}\ {\rm sign}\,y=0,\\ p\in C(\mathbb{R}),\,\,a_j\in C(\mathbb{R}),\,\,\,j=0,\dots,{n-1},\,\,\, k>1,\,\, n=2m,\,\, m\in\mathbb{N}, \end{gather*}
обобщающий известные критерии Аткинсона и Кигурадзе.
Доказывается существование квазипериодических колеблющихся решений уравнения
$$ y^{(n)}+p_0\,|y|^{k}\ {\rm sign}\,y=0, \,\, n>2,\,\, k\in \mathbb {R},\,\, k>0,\,\,\,k\neq1, \,\, p_0\in \mathbb {R},
$$
в случае регулярной $(k>1)$ и сингулярной $(0<k<1)$ нелинейности при $(-1)^{n}p_0>0.$
Приводится результат о существовании периодических решений этого уравнения при $n=4,\,\,k>0,\,\,k\neq1,\,\,p_0<0.$