Корректность основной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе

Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией $u(x,t), x=(x_{1},..., x_{m}), m\geq2,$ то по принципу Гамильтона приходим к многомерному волновому уравнению.
Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа.
Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе.
Основная смешанная задача в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений в пространстве обобщенных функций хорошо исследована. В работах автора доказана корректность этой задачи для многомерных гиперболических и эллиптических уравнений, а также получены явные виды классических решений.
Насколько известно, эти вопросы для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений не изучены.
Смешанная задача с граничными условиями для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе является некорректной. В данной статье доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения основной смешанной задачи с граничными и начальными данными для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе.