О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

В статье рассматривается применение метода Монте-Карло к решению задачи Коши для больших систем линейных дифференциальных уравнений. В первой части статьи дается краткий обзор уже известных результатов применения метода для решения интегральных уравнений Фредгольма. В основной части статьи разбирается применение подхода к системе линейных ОДУ, которая приводится к эквивиалентной системе интегральных уравнений Вольтерра. Это позволяет снять ограничения, связанные со сходимостью мажорантного процесса. Формулируются следующие ключевые теоремы. Теорема 1 указывает требуемые условия согласования, которым должны отвечать переходная и начальная плотности распределения, инициирующие соответствующую цепь Маркова, для которой выполняется равенство между математическим ожиданием оценки и интересующим нас функционалом. Теорема 2 формулирует выражение для дисперсии оценки, в то время как теорема 3 указывает параметры цепи Маркова, минимизирующие значение дисперсии для оценки функционала. В работе приводятся доказательства всех трех теорем. В практической части предложенный метод применяется к системе линейных ОДУ, описывающих замкнутую систему массового обслуживания из десяти условных машин и семи условных рабочих. Решение приводится как для системы с постоянной матрицей коэффициентов, так и для системы с переменной матрицей, где в зависимости от времени меняется интенсивноcть выхода машин из строя. Также произведено сравнение решения методом Монте-Карло с решением методом Рунге - Кутта. Все результаты отражены в таблицах.