Дискретизация задачи о парковке

В настоящей работе приведено исследование естественной дискретизации задачи Реньи, известной под названием "задача о парковке". Пусть $l$, $n$, $i$ - целые числа, причем $l \geqslant 2$, $n \geqslant 0$ и $0 \leqslant i \leqslant n - l$. На отрезок $[0, n]$ будем помещать открытый интервал $(i, i + l)$, где $i$ - случайная величина, с равной вероятностью принимающая значения $0, 1, 2, \ldots , n-l$ для всех $n \geqslant l$. Если $x < l$, то говорим, что интервалне помещается. После размещения первого интервала образуются два свободных отрезка $[0, i]$ и $[i + l, n]$, которые заполняются интервалами длины $l$ по тому же правилу независимо друг от друга, и т. д. По окончании процесса заполнения отрезка $[0, n]$ интервалами между двумя любыми соседними интервалами расстояние будет не больше $l - 1$. Пусть $\xi_n,l$ обозначает суммарную длину разместившихся интервалов. Асимптотическое поведение математических ожиданий данной последовательности случайных величин уже изучалось ранее. Данная статья ставит своей целью продолжение изучения поведения математических ожиданий $E{\xi_n,l}$ при $n \to \infty$, а также изучение поведения дисперсий $D{\xi_n,l}$ при $n$, стремящемся к бесконечности.