Линейные отображения, сохраняющие мажоризацию наборов матриц

В работе рассматриваются слабая, направленная и сильная мажоризации матриц. А именно, говорят, что матрица $A$ слабо мажорируется матрицей $B$, если найдется такая строчно-стохастическая матрица $X$, что $A = XB$. Матрица $A$ сильно мажорируется матрицей B, если найдется такая двояко-стохастическая матрица $X$, что $A = XB$. Наконец, B направленно мажорирует $A$, если вектор $B_x$ мажорирует вектор $A_x$ для любого вектора $x$ в смысле стандартной векторной мажоризации. Мы вводим понятие мажоризации кортежей матриц, которое определяется как естественное обобщение мажоризаций матриц: для выбранного типа мажоризаций один кортеж матриц мажорируется другим кортежем того же размера, если каждая матрица "меньшего" кортежа мажорируется матрицей "большего" кортежа, стоящей в той же позиции. Говорят, что линейный оператор сохраняет мажоризацию, если он переводит упорядоченные пары в упорядоченные пары, причем образ меньшего элемента не превосходит образ большего элемента. В работе получена полная характеризация линейных операторов, сохраняющих слабую, направленную или сильную мажоризации кортежей матриц, а также переводящих наборы, упорядоченные в смысле сильной мажоризации, в наборы, упорядоченные в смысле направленной мажоризации. Показано, что все такие отображения сохраняют соответствующую мажоризацию в каждой компоненте. Для каждого из трех рассматриваемых типов мажоризаций приведены примеры, демонстрирующие, что обратное утверждение неверно, т. е. из сохранения мажоризации матриц в каждой из компонент может не следовать сохранение мажоризации кортежей.