О достаточных условиях замкнутости элементарной сети

Работа связана с вопросами замкнутости элементарной сети. Элементарная сеть (сеть без диагонали) $\sigma = (\sigma_{ij} )_i \neq j$ аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ поля $k$ называется замкнутой, если элементарная сетевая группа $E(\sigma)$ не содержит новых элементарных трансвекций. Элементарная сеть $\sigma = (\sigma_{ij})$ называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ поля $k$ таблица (с диагональю) $\sigma = (\sigma_{ij})$, $1 \leqslant i$, $j \leqslant n$, является (полной) сетью. Дополняемые элементарные сети являются замкнутыми. Необходимым и достаточным условием дополняемости элементарной сети $\sigma = (\sigma_{ij})$ является выполнение включений $\sigma_{ij}\sigma_{ji}\sigma_{ij} \subseteq \sigma_{ij}$ (для любых $i \neq j$). Исследуется вопрос (Коуровская тетрадь, вопрос 19.63): верно ли, что для замкнутости элементарной сети $\sigma = (\sigma_{ij})$ достаточно выполнения включений $\sigma_{ij}^2\sigma_{ji} \subseteq \sigma_{ij}$ для любых $i \neq j$ (здесь через $\sigma_{ij}^2$ обозначается аддитивная подгруппа поля $k$, порожденная квадратами из $\sigma_{ij}$)? Элементарные сети, для которых выполнены последние включения, мы называем слабо дополняемыми элементарными сетями. Понятия дополняемой и слабо дополняемой элементарных сетей совпадают для полей нечетной характеристики. Таким образом, упомянутый вопрос достаточности слабой дополняемости для замкнутости элементарной сети актуален для полей характеристик $0$ и $2$. В настоящей статье для полей характеристик $0$ и $2$ строятся примеры слабо дополняемых, но не дополняемых элементарных сетей. Строится пример замкнутой элементарной сети, которая не является слабо дополняемой.