Об одном разложении аддитивных случайных полей

Рассматривается аддитивное случайное поле на $[0, 1]^d$, представляющее собой сумму d некоррелированных случайных процессов, зависящих от d независимых параметров. Предполагается, что эти процессы имеют нулевое математическое ожидание и одинаковую непрерывную ковариационную функцию. К изучению такого рода случайных полей проявляется определенный интерес. Они возникают в теории пересечений и самопересечений процессов броуновских движений, рассматриваются в задачах о малых уклонениях и в задачах конечноранговой аппроксимации при сколь угодно большой параметрической размерности d. В последних задачах ключевую роль играют спектральные характеристики ковариационного оператора. Для данного аддитивного случайного поля зависимость собственных чисел его ковариационного оператора от собственных чисел ковариационного оператора маргинальных случайных процессов достаточно проста в случае, когда последний имеет тождественную единицу в качестве собственного вектора. В другом случае, когда условие о тождественной единице не выполнено, вышеуказанная зависимость сложна, что затрудняет изучение такого рода случайных полей. Здесь при разложении случайного поля на сумму его интеграла и его центрированной версии слагаемые будут ортогональны в пространстве $L_2([0, 1]^d)$, но, вообще говоря, коррелированы. В настоящей статье мы приводим для данного случайного поля другое интересное разложение, существование которого было замечено авторами при решении задач конечноранговой аппроксимации этого поля в постановке в среднем. В полученном разложении слагаемые ортогональны в пространстве $L_2([0, 1]^d)$ и некоррелированы, а при больших d они близки соответственно к интегралу от случайного поля и центрированной версии поля с малой относительной средней квадратической ошибкой.