Прямое решение минимаксной задачи размещения в прямоугольной области на плоскости с прямоугольной метрикой

Рассматривается минимаксная задача размещения точечного объекта на плоскости с прямоугольной (манхэттенской) метрикой с ограничениями на допустимую область размещения и предлагается ее прямое аналитическое решение при помощи методов тропической (идемпотентной) математики. При отсутствии ограничений эта задача, которая также известна как задача Ролса или задача посыльного, имеет известные геометрическое и алгебраическое решения. Исследуется решение данной задачи с учетом дополнительных ограничений на область размещения, которая задана в форме прямоугольника. Сначала задача записывается в терминах тропической математики как задача тропической оптимизации, вводится параметр для обозначения минимума целевой функции и задача сводится к решению параметризованной системы неравенств. Эта система решается относительно одной из переменных, а условия существования решений используются для нахождения оптимальных значений другой переменной с помощью вспомогательной задачи оптимизации. Затем полученное общее решение преобразуется в набор прямых решений, записанных в компактной замкнутой форме для различных случаев соотношений между исходными параметрами задачи. Приведены графические примеры решения задачи для разных вариантов расположения допустимой области размещения на плоскости.