About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation

Работа посвящена решению задачи определения коэффициентов в линейном дифференциальном уравнении параболического типа и краевых условиях. При этом предполагаются известными значения решения начально-краевой задачи в некоторой фиксированной точке интервала изменения пространственной переменной и во все моменты времени (сечение решения). Использован спектральный подход, основанный на спектральных свойствах эллиптического оператора начально-краевой задачи и методах решения обратной спектральной задачи восстановления оператора Штурма–Лиувилля по двум последовательностям собственных значений, соответствующим двум наборам граничных условий (при этом используются классические результаты Б. М. Левитана, М. Г. Гасымова, И. С. Саргсяна, В. А. Юрко). В связи с этим основные усилия авторов были направлены на решение задачи определения спектральных характеристик оператора Штурма–Лиувилля. Применяется преобразование Лапласа к начально-краевой задаче в правой полуплоскости изменения параметра преобразования (здесь используется свойство положительности дискретного спектра симметричного вполне непрерывного эллиптического оператора). Устанавливается мероморфность по этому параметру функции Грина полученной краевой задачи, ее полюсами являются собственные значения краевой задачи. Представлены достаточные условия определения двух последовательностей собственных значений по двум наборам граничных условий и условия единственности решения обратной задачи. В работе рассмотрен случай, когда начально-краевая задача содержит особенности — интервал изменения пространственной переменной содержит конечное число точек, в которых дифференциальное уравнение теряет смысл и заменяется условиями согласования. Полученные результаты используются при неразрушающем контроле в теплофизических процессах.