Stability of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph

Поведение решения эволюционного уравнения при неограниченном увеличении значений временной переменной давно является объектом обсуждения в научных кругах. Для этого есть немало причин прикладного характера, когда начальные условия уравнения задаются с определенной погрешностью: как малые изменения начальных условий влияют на поведение решения при больших значениях времени. Используется классическое понимание устойчивости решения дифференциального уравнения или системы уравнений, предложенное в работах А. М. Ляпунова: решение устойчиво, если оно мало изменяется при малых возмущениях начального условия и для любого момента времени. Установлены условия устойчивости решения эволюционной параболической системы с распределенными параметрами на графе, описывающей процесс переноса сплошной среды в пространственной сети. Параболическая система рассматривается в слабой постановке: слабым решением системы является суммируемая функция, удовлетворяющая интегральному тождеству, которое определяет вариационную постановку для начально-краевой задачи. Выход за рамки классических (гладких) решений и обращение к слабым решениям задачи продиктованы желанием авторов не только описать более точно физическую сущность процессов переноса (это приобретает особенное значение при изучении динамики многофазовых сред (multiphase media)), но и указать пути анализа процессов переноса в многомерных сетеподобных областях. Используемый подход основывается на априорных оценках слабого решения и построении (метод Фаедо—Галеркина со специальным базисом — системой собственных функций эллиптического оператора параболического уравнения) слабо компактного семейства приближенных решений в выбранном пространстве состояний. Полученные результаты лежат в основе анализа задач оптимального управления дифференциальными системами с распределенными параметрами на графе, при этом выявлены интересные аналогии с многофазовыми задачами многомерной гидродинамики.