О сходимости в пространстве замкнутых подмножеств метрического пространства

Рассмотрено пространство ${\rm clos}(X)$ замкнутых подмножеств произвольного неограниченного (не обязательно сепарабельного) метрического пространства $(X, \varrho_{_X})$ с метрикой $\rho_{_X}^{\rm cl},$ предложенной в работе [Zhukovskiy E.S., Panasenko E.A. // Fixed Point Theory and Applications. 2013:10]. Показано, что если любой замкнутый шар в пространстве $(X, \varrho_{_X})$ вполне ограничен, то сходимость в пространстве $\left({\rm clos}(X), \rho_{_X}^{\rm cl}\right)$ последовательности $\{F_i\}_{i=1}^\infty$ к $F$ равносильна ее сходимости по Вайсману, а именно, сходимости при любом $x \in X$ последовательности расстояний $\varrho_{_X}(x, F_i)$ к $\varrho_{_X}(x, F).$