О необходимом и достаточном условии отрицательности функции Грина двухточечной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения

Рассматриваются условия отрицательности функции Грина двухточечной краевой задачи
$$ \mathcal{L}_\lambda u := u^{(n)}-\lambda\int_0^l u(s) d_s r(x,s)=f(x), \ \ \ x\in[0,l], \ \ \ B^k(u)=\alpha, $$
где $B^k(u)=(u(0),\ldots,u^{(n-k-1)}(0),u(l),-u'(l),\ldots,(-1)^{(k-1)}u^{(k-1)}(0)),$ $n\ge3,$ $0<k<n,$ $k$ нечетно. Функция $r(x,s)$ предполагается неубывающей по второму аргументу. Получено необходимое и достаточное условие неотрицательности решения этой краевой задачи на множестве $E$ функций, удовлетворяющих условиям
$$ u(0)=\cdots=u^{(n-k-2)}(0)=0,\ \ \ u(l)=\cdots=u^{(k-2)}(l)=0, $$
$u^{(n-k-1)}(0)\ge0,$ $u^{(k-1)}(l)\ge0,$ $f(x)\le 0.$ Это условие заключается в терминах докритичности краевых задач с вектор-функционалами $B^{k-1}$ и $B^{k+1}.$ Пусть $k$ четно, и $\lambda^k$ — наименьшее положительное значение $\lambda,$ при котором задача $\mathcal{L}_\lambda u=0,$ $B^ku=0$ имеет нетривиальное решение. Тогда пара условий $\lambda<\lambda^{k-1}$ и $\lambda<\lambda^{k+1}$ необходима и достаточна для положительности решения задачи.