Спектральные свойства дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией

В статье предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывной весовой функцией. Потенциал оператора предполагается кусочно-гладкой функцией на конечном отрезке задания оператора. В точке разрыва весовой функции требуется выполнение условий «сопряжения». Исследуются разделённые граничные условия общего вида. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора, заданного на конечном отрезке. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений, задающих исследуемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем исследованы граничные условия изучаемого оператора. В результате получено уравнение на собственные значения оператора, которое представляет собой целую функцию. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным многоугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. При помощи найденной асимптотики собственных значений методом Лидского–Садовничего получена формула первого регуляризованного следа этого оператора. В случае предельных переходов полученная формула приводит к формуле следа для классического оператора с гладким потенциалом и постоянной весовой функцией.