Об условиях нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов

Основными в теории сингулярных интегральных операторов являются проблемы ограниченности, обратимости, нётеровости и вычисления индекса. Общая теория многомерных сингулярных интегральных операторов по всему пространству $E_n$ построена С. Г. Михлиным. Известно, что в двумерном случае, если символ оператора не обращается в нуль, то имеет место теория Фредгольма. Для операторов по ограниченной области граница этой области существенно влияет на разрешимость соответствующих операторных уравнений. В данной работе рассматриваются двумерные сингулярные интегральные операторы с непрерывными коэффициентами по ограниченной области. Такие операторы применяются во многих задачах теории дифференциальных уравнений в частных производных. В связи с этим представляет интерес установление критериев нётеровости рассматриваемых операторов в виде явных условий на их коэффициенты. В статье установлены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости двумерных сингулярных интегральных операторов в лебеговых пространствах $L_{p}(D)$ (рассматриваемых над полем вещественных чисел), $1<p<\infty ,$ и даны формулы для вычисления индексов. Используется метод, разработанный Р. В. Дудучавой [Duduchava R. On multidimensional singular integral operators. I: The half-space case; II: The case of compact manifolds // J. Operator Theory, 1984, v. 11, 41–76 (I); 199–214 (II)]. При этом исследование нётеровых свойств операторов сводится к факторизации соответствующих матриц-функций и нахождению их частичных индексов.