О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга

Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида
\begin{equation*} \dot{v}_{i}= -\alpha v_{i}+\sum_{j=1}^{n}w_{ji}f_{\delta}(v_{j})+I_{i}(t), \ \ \, i=\overline{1,n}, \ \ \, t\geq 0. \end{equation*}
Параметры модели считаются заданными: $\alpha>0,$ $w_{ji}>0$ при $i\neq j$ и $w_{ii}=0,$ $I_{i}(t)\geq 0.$ Функция активации $f_{\delta}$ ($\delta$ — время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов:
$$ \delta= 0 \ \Rightarrow f_{0}(v)=\left\{
\begin{array}{ll} 0, & v\leq\theta,\\ 1, & v>\theta; \end{array}
\right. \ \ \ \ \ \ \delta> 0 \ \Rightarrow \ f_{\delta}(v)=\left\{
\begin{array}{ll} 0, & v\leq \theta,\\ {\delta}^{-1}( v-\theta), & \theta < v \leq \theta+\delta,\\ 1, & v>\theta+\delta. \end{array}
\right.$$
В случае $\delta> 0$ (функция $f_{\delta}$ непрерывна) решение задачи Коши для рассматриваемой системы существует, единственно и является неотрицательным при неотрицательных начальных значениях. В случае $\delta= 0$ (функция $f_{0}$ разрывна в точке $\theta$) показано, что во множестве решений задачи Коши есть наибольшее и наименьшее решения, получены оценки решений и приведен пример системы, для которой задача Коши имеет бесконечное множество решений. В этом исследовании используются методы анализа отображений частично упорядоченных пространств.
Также исследуется уточненная модель Хопфилда, в которой учитывается время движения электрического импульса от одного нейрона к другому, и поэтому модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для такой системы и в случае непрерывной, и в случае разрывной функции активации показано, что задача Коши однозначно разрешима, получены оценки решения и описан алгоритм аналитического нахождения решения.