О существовании предела средней временной выгоды в вероятностных моделях сбора возобновляемого ресурса

Исследуются модели динамики популяций, заданные разностными уравнениями со случайными параметрами. При отсутствии промысла развитие популяции в моменты времени $k=1,2,\ldots$ описывается уравнением $X(k+1)=f\big(X(k)\big),$ где $X(k)$ — количество возобновляемого ресурса, $f(x)$ — вещественная дифференцируемая функция. Предполагается, что в моменты $k=1,2,\ldots$ происходит изъятие случайной доли популяции $\omega\in[0,1].$ Процесс эксплуатации прекращается, когда в момент $k$ доля собранного ресурса окажется больше некоторого значения $u(k)\in[0,1),$ чтобы сохранить часть популяции для воспроизводства и увеличения размера следующего сбора. При этом доля добываемого ресурса будет равна $\ell(k)=\min\big\{\omega(k),u(k)\big\}, k=1,2,\ldots.$ Тогда модель эксплуатируемой популяции имеет вид
$$ X(k+1)=f\big((1-\ell(k))X(k)\big), \ \ \, k=1,2,\ldots, $$
где $x(0)$ — начальная численность популяции, $X(1)=f\big(x(0)\big).$
Для стохастической модели популяции исследуется задача выбора управления $\overline{u}=(u(1),\ldots,u(k),\ldots),$ ограничивающего в каждый момент времени $k$ долю собираемого ресурса, при котором предел функции средней временной выгоды
$$ H\bigl(\overline{\ell},x(0)\bigr) \doteq\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\,\dfrac{1}{n}\,\sum_{k=1}^{n}X(k)\ell(k)}, \ \ \, \text{где} \ \,\, \overline{\ell}\doteq(\ell(1),\ldots,\ell(k),\ldots) $$
существует и его можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом. Если уравнение $X(k+1)=f\big(X(k)\big)$ имеет решение вида $X(k)\equiv x^*,$ то это решение называется положением равновесия данного уравнения. Для любого $k=1,2,\ldots$ вводятся в рассмотрение случайные величины $A(k+1,x)=f\bigl((1-\ell(k))A(k,x)\bigr),$ $B(k+1,x^*)=f\bigl((1-\ell(k))B(k,x^*)\bigr)$; здесь $A(1,x)=f(x),$ $B(1,x^*)=x^*.$ Показано, что при выполнении определенных условий существует управление $\overline{u},$ при котором справедлива оценка средней временной выгоды
$$ \dfrac{1}{m}\sum\limits_{k=1}^{m} M\bigl(A(k,x)\ell(k)\bigr) \leqslant H(\overline{\ell},x(0)) \leqslant \dfrac{1}{m}\sum\limits_{k=1}^{m} M\bigl(B(k,x^*)\ell(k)\bigr), $$
где через $M$ обозначено математическое ожидание. Кроме того, получены условия существования управления $\overline{u},$ при котором с вероятностью единица существует положительный предел средней временной выгоды, равный
$$H(\overline{\ell},x(0)) = \lim\limits_{k\to\infty} MA(k,x)\ell(k) = \lim\limits_{k\to\infty} MB(k,x^*)\ell(k).$$