Научные статьи
О взаимоотношении движений динамических систем в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве с инвариантной мерой
А. П. Афанасьевab,
С. М. Дзюбаc a ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»
b ФГБУН «Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича» Российской академии наук
c ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет»
Аннотация:
В настоящей работе исследуются взаимоотношения рекуррентных и уходящих движений динамических систем. Под уходящим движением понимается движение,
$\alpha$- и
$\omega$-предельные множества которого или пусты, или не компактны. Показано, что в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве
$\Sigma$ с инвариантной мерой Каратеодори почти все точки лежат на траекториях движений, которые являются или рекуррентными, или уходящими, т. е. в пространстве
$\Sigma$ множество точек
$\Gamma,$ лежащих на траекториях неуходящих и нерекуррентных движений, имеет меру нуль. Более того, любое движение, расположенное в
$\Gamma,$ является как положительно, так и отрицательно асимптотическим по отношению к соответствующим компактным минимальным множествам. Доказательство данного утверждения существенным образом опирается на классические теоремы о возвращении Пуанкаре–Каратеодори и Хопфа. Из этого доказательства и теоремы Хопфа следует, что в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве возможно существование нерекуррентных устойчивых по Пуассону движений, но все эти движения с необходимостью должны быть уходящими. В то же самое время, в компактном пространстве
$\Sigma$ любое устойчивое по Пуассону движение является рекуррентным.
Ключевые слова:
динамические системы, сепарабельное локально компактное метрическое пространство с инвариантной мерой, взаимоотношение движений.
УДК:
517.938
MSC: 37B20 Поступила в редакцию: 19.09.2022
Принята в печать: 10.03.2023
DOI:
10.20310/2686-9667-2023-28-141-5-12