О взаимоотношении движений динамических систем в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве с инвариантной мерой

В настоящей работе исследуются взаимоотношения рекуррентных и уходящих движений динамических систем. Под уходящим движением понимается движение, $\alpha$- и $\omega$-предельные множества которого или пусты, или не компактны. Показано, что в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве $\Sigma$ с инвариантной мерой Каратеодори почти все точки лежат на траекториях движений, которые являются или рекуррентными, или уходящими, т. е. в пространстве $\Sigma$ множество точек $\Gamma,$ лежащих на траекториях неуходящих и нерекуррентных движений, имеет меру нуль. Более того, любое движение, расположенное в $\Gamma,$ является как положительно, так и отрицательно асимптотическим по отношению к соответствующим компактным минимальным множествам. Доказательство данного утверждения существенным образом опирается на классические теоремы о возвращении Пуанкаре–Каратеодори и Хопфа. Из этого доказательства и теоремы Хопфа следует, что в сепарабельном локально компактном метрическом пространстве возможно существование нерекуррентных устойчивых по Пуассону движений, но все эти движения с необходимостью должны быть уходящими. В то же самое время, в компактном пространстве $\Sigma$ любое устойчивое по Пуассону движение является рекуррентным.