Линейные и нелинейные интегральные функционалы в пространстве непрерывных вектор-функций

Статья посвящена исследованию нелинейного интегрального функционала вида $F(u)=\int_\Omega f(s,u(s))\,ds,$ где $\Omega$ — замкнутое ограниченное множество в $\mathbb{R}^n$, порождающая функция $f:\Omega\times X\to\mathbb{R}$ (где $X$ — вещественное сепарабельное банахово пространство) удовлетворяет условиям Каратеодори.
Изучаются действие и ограниченность функционала $F$ на пространстве $C(X)$ непрерывных вектор-функций $u:\Omega\to X$ и на пространстве $L_\infty(X)$ существенно ограниченных вектор-функций (с естественными нормами).
Основными результатами статьи являются 1) эквивалентность действия и ограниченности функционала $F$ на пространствах $C(X)$ и $L_\infty(X);$ 2) равенство для этих пространств числовой характеристики функционала в виде супремума нормы значений функционала на замкнутом шаре; 3) выражение этой числовой характеристики в терминах функции $f,$ порождающей функционал.
Для распространения свойств функционала с $C(X)$ на $L_\infty(X)$ существенно используются результаты И. В. Шрагина об операторе Немыцкого и порождающей функции, а также его идеи и методы, основанные на последовательном доказательстве специальных вспомогательных утверждений, которые используют, в частности, теоремы непрерывного и измеримого выбора.
Полученные для функционала $F$ результаты конкретизируются для случая линейного интегрального функционала на пространствах банаховозначных функций (когда $f(s,x)=a(s)[x]$ для некоторой функции $a:\Omega\to X^\ast$), в частности, установлено, что норма этого функционала на пространствах $C(X)$ и $L_\infty(X)$ равна $\int_\Omega\|a(s)\|_{X^\ast}ds$.