Оценка суммарного дохода с учетом дисконтирования для вероятностных моделей динамики популяций

Рассматриваются модели однородных и структурированных популяций, заданные дифференциальными уравнениями, зависящими от случайных параметров. Популяция называется однородной, если она состоит только из одного вида животных или растений, и структурированной, если она содержит $n\geqslant 2$ различных видов или возрастных классов. Предполагаем, что при отсутствии эксплуатации динамика популяции задана системой дифференциальных уравнений
\begin{equation*} \dot{x}=g(x), \quad x\in\mathbb R^{n}_{+}\doteq\left\{x\in \mathbb R^{n}: x^1\geqslant 0,\ldots,x^n\geqslant 0\right\}. \end{equation*}
В моменты времени $\tau_{k}=kd,$ где $d>0,$ $k=1,2,\ldots,$ из этой популяции извлекаются случайные доли ресурса $\omega_{k}^i,$ $i=1,\ldots,n.$ Если $\omega_{k}^i$ оказывается больше некоторого значения $u_{k}^i\in[0,1),$ то сбор ресурса $i$-го вида в момент $\tau_{k}$ прекращается, и доля извлеченного ресурса получается равной $\ell_{k}^i=\min(\omega_{k}^i,u_{k}^i).$ Пусть $C^{i}\geqslant 0$ — стоимость ресурса $i$-го вида, $X_k^{i}=x^{i}(kd-0)$ — количество ресурса $i$-го вида в момент времени $\tau_k$ до сбора; тогда величина дохода в данный момент равна $Z_k\doteq\displaystyle\sum_{i=1}^n{C^{i}X_k^{i}\ell_{k}^i}.$ Исследуются свойства характеристики суммарного дохода, которая определяется как сумма ряда из величин дохода в момент времени $\tau_k$ с учетом показателя дисконтирования $\alpha>0:$
\begin{equation*} H_{\alpha}\bigl(\overline{\ell},x_{0}\bigr)=\sum_{k=1}^\infty{Z_k e^{-\alpha{k}}}=\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\alpha{k}} \sum_{i=1}^{n}C^{i}X_k^{i}\ell_{k}^i, \end{equation*}
где $\overline{\ell}\doteq(\ell_{1},\ldots,\ell_{k},\ldots),$ $x_0$ — начальный размер популяции. Значение показателя $\alpha$ указывает на то, что стоимость позднее получаемого дохода снижается. Получены оценки суммарного дохода с учетом дисконтирования, выполненные с вероятностью единица.