О краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, моделирующей электрическую активность головного мозга

Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида
\begin{equation*} \dot{v}_{i}(t)= -\alpha v_{i}(t)+\sum_{j=1}^{n}w_{ji}f_{\delta}\big(v_{j}(t-\tau_{ji})\big)+I_{i}(t), \quad i=\overline{1,n}, \quad t\geq 0. \end{equation*}
Параметры модели считаются заданными: $\alpha>0,$ $\tau_{ii}=0,$ $w_{ii}= 0,$ $\tau_{ji}\geq 0$ и $w_{ji}>0$ при $i\neq j,$ $I_{i}(t)\geq 0$ при $t\geq 0.$ Функция активации $f_{\delta}$ ($\delta$ — время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов:
$$ \delta= 0 \ \Rightarrow f_{0}(v)=\left\{
\begin{array}{ll} 0, & v\leq\theta,\\ 1, & v>\theta; \end{array}
\right. \ \ \ \ \delta> 0 \ \Rightarrow \ f_{\delta}(v)=\left\{
\begin{array}{ll} 0, & v\leq \theta,\\ {\delta}^{-1}( v-\theta), & \theta < v \leq \theta+\delta,\\ 1, & v>\theta+\delta. \end{array}
\right.$$
Для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений исследуется краевая задача с условиями ${v_{i}(0)-v_{i}(T)=\gamma_{i},}$ $i=\overline{1,n}.$ В обоих случаях $\delta= 0$ (функция $f_{0}$ разрывная) и $\delta > 0$ (функция $f_{0}$ непрерывная) решение существует, а если
$${\delta} > \frac{T|W|_{\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}}}{1 - e^{-\alpha T}}, \quad \text{где} \quad W=(w_{ij})_{n\times n}, $$
то рассматриваемая задача имеет единственное решение. В работе также получены оценки решения и его производной. Используются теоремы о неподвижных точках непрерывных отображений метрических и нормированных пространств и о неподвижных точках монотонных отображений частично упорядоченных пространств. Полученные результаты применены к исследованию периодических решений рассматриваемой дифференциальной системы.