Научные статьи
О роли множителей Лагранжа и двойственности в некорректных задачах на условный экстремум. К 60-летию метода регуляризации Тихонова
М. И. Сумин ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина»
Аннотация:
Обсуждается важная роль множителей Лагранжа и двойственности в теории некорректных задач на условный экстремум. Центральное внимание уделяется задаче устойчивого приближенного нахождения нормального (минимального по норме) решения операторного уравнения первого рода
$Az=u,$ $z\in {\mathcal D}\subseteq Z,$ где
$A:\,Z\to U$ — линейный ограниченный оператор,
$u\in U$ — заданный элемент,
${\mathcal D}\subseteq Z$ — выпуклое замкнутое множество,
$Z,U$ —
гильбертовы пространства, являющейся классической для теории некорректных задач. Рассматриваются две эквивалентные ей задачи (с точки зрения одновременного существования их единственных решений) на условный экстремум, первая из которых — это задача (
$CE1$) с функциональным ограничением-неравенством
$\|z\|^2\to\min,$ $\|Az-u\|^2\leq 0,$ $z\in {\mathcal D},$ а вторая — задача (
$CE2$) с операторным ограничением-равенством
$\|z\|^2\to\min,$ $Az=u,$ $z\in {\mathcal D}.$ В работе последовательно: 1) показывается, что метод регуляризации Тихонова может естественным образом трактоваться как метод устойчивой аппроксимации точного решения экстремалями функционала Лагранжа для задачи (
$CE1$) с одновременным построением в двойственной к ней задаче максимизирующей последовательности из множителей Лагранжа, при этом множитель Лагранжа является величиной обратной параметру регуляризации в методе Тихонова; другими словами, теореме сходимости метода регуляризации Тихонова придается вид утверждения в форме двойственности относительно задачи (
$CE1$); 2) обсуждается роль стабилизации по Тихонову для выпуклых задач общего вида при решении задач на условный экстремум; 3) обсуждается основанный на стабилизации по Тихонову двойственной к (
$CE2$) задачи устойчивый метод для решения исходного операторного уравнения, который может рассматриваться как метод регуляризации правила множителей Лагранжа для задачи (
$CE2$); 4) обсуждаются особенности каждого из двух указанных выше подходов к регуляризации решения исходного операторного уравнения.
Ключевые слова:
некорректная задача, линейное операторное уравнение, регуляризирующий алгоритм, метод регуляризации Тихонова, условный экстремум, правило множителей Лагранжа, двойственность, обобщенная минимизирующая последовательность, двойственная регуляризация, регуляризованный принцип Лагранжа
УДК:
517.9
MSC: 47A52,
49K27,
90C46,
90C31 Поступила в редакцию: 24.08.2023
Принята в печать: 23.11.2023
DOI:
10.20310/2686-9667-2023-28-144-414-435