Научные статьи
Явление погранслоя в алгебро-дифференциальном уравнении первого порядка
В. И. Усков ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова»
Аннотация:
Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка
\begin{equation*}
A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon),
\end{equation*}
\begin{equation*}
u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1,
\end{equation*}
где
$A,B,C,D$ — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства
$E_1$ в банахово пространство
$E_2$ с всюду плотными в
$E_1$ областями определения,
$u^0$ — голоморфная в точке
$\varepsilon=0$ функция,
$\varepsilon$ — малый параметр,
$t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т. д. Оператор
$A$ фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя — это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве
$\mathbb{R}^4.$
Ключевые слова:
алгебро-дифференциальное уравнение первого порядка, малый параметр, фредгольмов оператор, явление погранслоя, уравнение ветвления, условия регулярности вырождения
УДК:
517.928,
517.922
MSC: 34E15 Поступила в редакцию: 15.05.2023
Принята в печать: 23.11.2023
DOI:
10.20310/2686-9667-2023-28-144-436-446