О непрерывных и липшицевых селекциях многозначных отображений, заданных системой неравенств

Рассматривается многозначное отображение следующего вида
$$ a(x)=\{ y \in Y \,|\,\, f_i(x,y) \leq 0, \ i\in I\}, \ \ x \in X,$$
где $X \subset \mathbb{R}^m$ — компакт; $Y \subset \mathbb{R}^n$ — выпуклый компакт; градиенты $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ функций $f_i(x,y)$ по $y$ удовлетворяют условию Липшица на $Y$; $I$ — конечное множество индексов. С использованием метода линеаризации доказаны теоремы существования непрерывных и липшицевых селекторов, проходящих через любую точку графика многозначного отображения $a.$ Получены как локальные, так и глобальные теоремы. Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений в оптимизационных задачах.