О приближенном решении некорректно поставленной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической области с однородными условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра

Рассматривается смешанная по краевым условиям задача для уравнения Лапласа в области, представляющая собой часть цилиндра прямоугольного сечения c однородными краевыми условиями второго рода на боковой поверхности цилиндра. Цилиндрическая область с одной стороны ограничена поверхностью общего вида, на которой заданы условия Коши, т. е. заданы функция и ее нормальная производная, а другая граница цилиндрической области свободна. В этом случае задача обладает свойством неустойчивости задачи Коши для уравнения Лапласа по отношению к погрешности в данных Коши, т. е. некорректно поставлена, и ее приближенное решение, устойчивое к погрешности в данных Коши, требует применения методов регуляризации. Рассматриваемая задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. На основе решения интегрального уравнения, полученного в виде ряда Фурье по собственным функциям второй краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике, построено явное представление точного решения поставленной задачи. Устойчивое приближенное решение интегрального уравнения построено методом регуляризации Тихонова. В качестве приближенного решения интегрального уравнения рассматривается экстремаль функционала Тихонова. На основе приближенного решения интегрального уравнения строится приближенное решение краевой задачи в целом. Доказана теорема сходимости приближенного решения поставленной задачи к точному при стремлении к нулю погрешности в данных Коши и при согласовании параметра регуляризации с погрешностью в данных.