Универсальный метод Монте–Карло для процессов Леви и его экстремумов

В статье предложен универсальный подход построения методов Монте–Карло для вычисления цен опционов с выплатами, зависящими от совместного распределения конечного положения процесса Леви $X_T$ и его инфимума $\mathcal{I}_T$ (или супремума $\mathcal{S}_T$). Мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви $\mathbf{P}(X_{T}<x|\mathcal{S}_{T}=y)$ ($\mathbf{P}(X_{T}<x|\mathcal{I}_{T}=y)$), которые выражаются через частную производную по $y$ функции совместного распределения $\mathbf{P}(X_{T}<x,\mathcal{S}_{T}<y)$ ($\mathbf{P}(X_{T}<x,\mathcal{I}_{T}<y)\!$) и плотности инфимума (или супремума) в конечный момент времени. Применив преобразование Лапласа к функции совместного распределения процесса Леви и его экстремума, мы используем приближенную факторизацию Винера–Хопфа для представления образа ее частной производной. Обращая преобразование Лапласа с помощью алгоритма Гавера–Стехфеста, мы находим искомую условную функцию распределения. Разработанный алгоритм симуляции совместного положение процесса Леви и его экстремума в заданный момент времени состоит из двух ключевых этапов. На первом этапе мы симулируем значение экстремума процесса Леви на основе аппроксимации его функции распределения $\mathbf{P}(\mathcal{S}_{T}<x)$ (или $\mathbf{P}(\mathcal{I}_{T}<x)$). На втором этапе мы симулируем конечное значение процесса Леви на основе аппроксимации условной функции распределения конечного положения процесса Леви относительно его экстремума. Универсальность разработанного нами метода Монте–Карло заключается в реализации единообразного подхода для широкого класса процессов Леви, в отличие от классических подходов, когда симуляции существенным образом опираются на особенности вероятностного распределения, связанного с моделируемым случайным процессом или его экстремумами. В нашем подходе достаточно знать характеристическую экспоненту процесса Леви. Наиболее затратный по времени вычислительный блок по симуляции случайной величины на основе известной функции распределения может быть эффективно реализован с помощью нейросетей и ускорен за счет параллельных вычислений. Таким образом, с одной стороны, предлагаемый нами подход подходит для широкого класса моделей Леви, с другой — допускает комбинирование с методами машинного обучения.