Метод приближенного решения уравнений в частных производных

В статье рассматривается уравнение в частных производных вида
$$\frac{\partial u}{\partial t}=f\big(t,x,y, u, \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\big), \ \ (x,y)\in D \subset \mathbb{R}^2, \ \ t\geq 0,$$
относительно неизвестной функции $u,$ определенной в области $D$ пространственных переменных $x,y$ и при $t\geq 0.$ Предлагается метод нахождения приближенного решения. Рассматриваемое уравнение заменяется приближенным за счет введения оператора сдвига $S:D\to D ,$ позволяющего заменить на каждом шаге вычислений неизвестные значения функции $u(x,y,t)$ в правой части значениями $u(S(x,y),t),$ полученными на предыдущем шаге. Идея предлагаемого метода восходит к идее метода Тонелли, известного для дифференциальных уравнений относительно функций одной переменной (с обычными, а не частными производными). Достоинствами предлагаемого метода являются простота получаемого итерационного соотношения и возможности применений к широкому классу уравнений и краевых условий. В статье получены итерационные формулы решения краевой задачи с условием Дирихле по пространственным переменным и с начальным или с краевым условием по переменной $t.$ На основании предложенного метода получено приближенное решение конкретной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в квадратной области.