О емкостной размерности подмножеств метрического компакта

Рассматривается вопрос о возможных значениях нижней емкостной размерности $\underline{\mathrm{dim}}_B$ подмножеств метрического компакта $X$. Введено понятие размерности $f\underline{\mathrm{dim}}_BX$, характеризующее асимптотику нижней емкостной размерности замкнутых $\varepsilon$-окрестностей конечных подмножеств компакта $X$ при $\varepsilon\to 0$. Для широкого класса метрических компактов размерность $f\underline{\mathrm{dim}}_BX$ совпадает с $\underline{\mathrm{dim}}_BX$. Доказана следующая теорема: для любого неотрицательного числа $r<f\underline{\mathrm{dim}}_BX$ существует замкнутое подмножество $Z_r\subset X$, для которого $\underline{\mathrm{dim}}_BZ_r=r$.