Экспериментальная математика и её использование в теории чисел

Показаны полезность и особенности экспериментальной математики. Рассматриваются два исследования в теории чисел, проделанные с помощью Wolfram Mathematica. Первое, уже прежде опубликованное, содержало доказательства сравнений вида $F(A(p)) \equiv \varepsilon F(S) \pmod p$. Используются обозначения: $F(n)$ — $n$-e число Фибоначчи, $p$ — простое число, $\varepsilon$ равно $\pm 1$, $A(p)$ есть произвольный многочлен от $p$ с целыми коэффициентами и $S$ — более простое выражение, содержащее только коэффициенты многочлена $A(p)$ и не содержащее $p$. Второе исследование заканчивается новым результатом — теоремой о том, что асимптотическая плотность интервалов, кратных $6$, между соседними простыми числами равна $1/2$. Первое исследование упоминается с целью сравнить роли экспериментов для этих двух задач. В первом исследовании эксперименты были необходимы — они помогли, начиная с известных фактов, сформулировать цепочки достоверных догадок, доказать которые оказалось уже нетрудно. Во втором исследовании первоначально не было даже уверенности в том, что проделываемые вычисления могут к чему-то привести. И для доказательства теоремы о значении $1/2$ для предела проделанные эксперименты не нужны. Нужна только догадка о формулировке теоремы. Но эксперименты дополнительно привели к гипотезе о том, каким образом осуществляется предельный переход на протяжении первых $80$ миллионов простых чисел.