Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности

В предыдущей работе авторов определено параметрическое семейство конечномерных пространств специальных квадратичных сплайнов лагранжевого типа. В каждом пространстве в качестве решения начально-граничной задачи для простейшего уравнения теплопроводности предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей. Формула для невязки представляет собой положительно определенную квадратичную форму от этих же величин, однако из-за своей громоздкости она плохо приспособлена для анализа качества аппроксимации исходной задачи при варьировании параметрами.
Получено альтернативное представление для невязки, представляющее собой сумму двух положительно определенных квадратичных форм от новых конечных разностей, заданных на границе. Матрица первой формы имеет второй порядок и очевидный спектр. Элементы второй матрицы порядка $N+1$ выражаются через многочлены Чебышева, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки, не зависящие от размерности $N$. Данное обстоятельство позволяет провести исследование на качество аппроксимации для разных размерностей $N$ и весовых коэффициентов $\omega\in[-1,1]$. Показано, что наилучшее приближение дает параметр $\omega=0$, а невязка стремится к нулю с ростом $N$.