Об одной вариационной задаче кусочно-линейной динамической аппроксимации

Изучаются свойства дискретной вариационной задачи динамической аппроксимации в комплексном евклидовом $(L+1)$-мерном пространстве $E$. Она обобщает известные задачи среднеквадратической полиномиальной аппроксимации функций, заданных своими отсчетами в конечном интервале. В рассматриваемой задаче аппроксимация последовательности $\mathbf y=\{y_i\}_0^L$ отсчетов функции $y(t)\in L^2[0,T]$, $T=Lh$ на сетке $I_h$ осуществляется решениями однородных линейных дифференциальных или разностных уравнений заданного порядка $n$ с постоянными, но, возможно, неизвестными коэффициентами. Тем самым показано, что в последнем случае задача аппроксимации включает в себя и задачу идентификации. Анализ ее особенностей – основная тема статьи. Ставится задача нахождения вектора коэффициентов $\alpha$ разностного уравнения $\sum_0^n\widehat y_{i+k}\alpha_i=0$, где $k=\overline{0,L-n}$. Оптимизируются коэффициенты $\alpha$ и начальные условия переходного процесса $\widehat{\mathbf y}$ этого уравнения. Цель оптимизации – наилучшая аппроксимация исследуемого динамического процесса $\mathbf y\in E$. Критерий аппроксимации – минимум величины $\|\mathbf y-\widehat{\mathbf y}\|^2_E.$ Показано, что изучаемая вариационная задача сводится к задачам проектирования в $E$ вектора $\mathbf y$ на ядра разностных операторов с неизвестными коэффициентами $\alpha\in\omega\subset\mathcal S\subset E^{n+1}$. Здесь $\alpha$ – направление, $\mathcal S$ – сфера или гиперплоскость. Показана связь изучаемой задачи с задачами дискретизации и идентифицируемости. Тогда координаты вектора $\mathbf y\in E$ есть точное решение дифференциального уравнения на сетке $I_h$ и $\mathbf y=\widehat{\mathbf y}$. Дано сравнение изучаемой задачи вариационной идентификации с алгебраическими методами идентификации. Показано, что ортогональные дополнения к ядрам разностных операторов всегда имеют теплицев базис. Это приводит к быстрым проекционным алгоритмам вычислений. Показано, что задача нахождения оптимального вектора $\widehat\alpha$ сводится к задаче безусловной минимизации функционала идентификации, зависящего от направления $\alpha$ в $E^{n+1}$. Предложена итерационная процедура его минимизации на сфере с широкой областью и высокой скоростью сходимости. Изучаемую вариационную задачу можно применять при математическом моделировании в управлении и научных исследованиях. При этом на конечных интервалах может использоваться, в частности, возможность кусочно-линейной динамической аппроксимации сложных динамических процессов разностными и дифференциальными уравнениями указанного типа.