О решениях третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в полубесконечном цилиндре

В полубесконечном цилиндре рассматривается поведение решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих на боковой поверхности $\Gamma$ цилиндра третьему краевому условию
$$ \left.{\bigg({{{\partial u}\over{\partial\nu}}+\beta(x)u}\bigg)}\right|_{\Gamma}=0, $$
где $\beta(x)\geqslant 0$. Показано, что любое ограниченное решение на бесконечности стабилизируется к некоторой постоянной, обладая при этом конечным интегралом Дирихле. Получены условия убывания в бесконечности коэффициента $\beta(x)$ при $u$ в граничном условии, при которых поведение решений близко к поведению решений задачи Дирихле (дихотомия решений, стремление ограниченного решения к $0$) либо задачи Неймана (трихотомия решений, стремление ограниченных решений к постоянной, вообще говоря отличной от $0$). Основное условие, определяющее близость третьей краевой задачи к задаче Дирихле либо Неймана, получено в терминах соответственно бесконечности или конечности интеграла $ \displaystyle{\int_{\Gamma}}x_1\beta(x)\,dS, $ где переменная $x_1$ соответствует направлению оси цилиндра.