О спектре двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера. II

Работа посвящена вопросу об абсолютной непрерывности спектра двумерного обобщенного периодического оператора Шрёдингера $H_g+V=-\nabla g\nabla +V$, где непрерывная положительная функция $g$ и скалярный потенциал $V$ имеют общую решетку периодов $\Lambda $. Решения уравнения $(H_g+V)\varphi =0$ определяют, в частности, электрическое и магнитное поля для электромагнитных волн, распространяющихся в двумерных фотонных кристаллах. При этом функция $g$ и скалярный потенциал $V$ выражаются через диэлектрическую проницаемость $\varepsilon $ и магнитную проницаемость $\mu $ ($V$ также зависит от частоты электромагнитной волны). Диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $ может быть разрывной функцией (и обычно выбирается кусочно-постоянной), поэтому возникает задача об ослаблении известных условий гладкости для функции $g$, обеспечивающих абсолютную непрерывность спектра оператора $H_g+V$. В настоящей работе предполагается, что коэффициенты Фурье функций $g^{\pm \frac 12}$ при некотором $q\in [1, \frac 43)$ удовлетворяют условию $\sum \bigl( |N|^{\frac 12} |(g^{\pm \frac 12})_N|\bigr) ^q < +\infty $ и скалярный потенциал $V$ имеет нулевую грань относительно оператора $-\Delta $ в смысле квадратичных форм. Пусть $K$ — элементарная ячейка решетки $\Lambda $, $K^*$ — элементарная ячейка обратной решетки $\Lambda ^*$. Оператор $H_g+V$ унитарно эквивалентен прямому интегралу операторов $H_g(k)+V$, где $k$ — квазиимпульс из $2\pi K^*$, действующих в $L^2(K)$. Последние операторы можно также рассматривать при комплексных векторах $k+ik^{\prime }\in {\mathbb C}^2$. В статье используется метод Томаса. Доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора $H_g+V$ сводится к доказательству обратимости операторов $H_g(k+ik^{\prime })+V-\lambda $, $\lambda \in {\mathbb R}$, при определенным образом выбираемых комплексных векторах $k+ik^{\prime }\in {\mathbb C}^2$ (зависящих от $g$, $V$ и числа $\lambda $) с достаточно большой мнимой частью $k^{\prime }$.