Согласованность дискретных линейных стационарных управляемых систем с неполной обратной связью специального вида для $n=5$

Рассматривается линейная управляемая система с линейной неполной обратной связью с дискретным временем
\begin{gather*} x(t+1)=Ax(t)+Bu(t),\qquad y(t)=C^*x(t),\qquad u(t)=Uy(t),\\ t\in\mathbb Z,\qquad(x,u,y)\in\mathbb K^n\times\mathbb K^m\times\mathbb K^k. \end{gather*}
Здесь $\mathbb K=\mathbb C$ или $\mathbb K=\mathbb R$. Для замкнутой системы
\begin{equation} x(t+1)=(A+BUC^*)x(t),\quad x\in\mathbb K^n, \label{eq1} \end{equation}
вводится понятие согласованности. Это понятие является обобщением понятия полной управляемости на системы с неполной обратной связью. Исследуется свойство согласованности системы \eqref{eq1} в связи с задачей управления спектром собственных значений, которая заключается в приведении характеристического многочлена матрицы стационарной системы \eqref{eq1} с помощью стационарного управления $U$ к произвольному наперед заданному полиному. Для системы \eqref{eq1} специального вида, когда матрица $A$ имеет форму Хессенберга, а в матрицах $B$ и $C$ все строки соответственно до $p$-й и после $p$-й (не включая $p$) равны нулю, свойство согласованности является достаточным условием глобальной управляемости спектра собственных значений. В предыдущих работах было доказано, что обратное утверждение верно для $n<5$ и неверно для $n>5$. В настоящей работе открытый вопрос для $n=5$ разрешен. Доказано, что при $n=5$ для системы с коэффициентами специального вида свойство согласованности является необходимым условием глобальной управляемости спектра собственных значений. Доказательство производится перебором всевозможных допустимых значений размерностей $m,k,p$. Свойство согласованности эквивалентно свойству полной управляемости “большой системы” размерности $n^2$. Для доказательства строится большая система, строится матрица управляемости $K$ этой системы размерности $n^2\times n^2mk$. Доказывается, что матрица $K$ имеет ненулевой минор порядка $n^2=25$. Для вычисления определителей больших порядков используется система Maple 15.