Эта публикация цитируется в
4 статьях
МАТЕМАТИКА
Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений
Ж. Ш. Сафаров Ташкентский университет информационных технологий, 100202, Узбекистан, г. Ташкент, пр. Амира Темура, 108
Аннотация:
В статье исследуются вопросы устойчивости решений обратных задач для двух интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа. Теоремы существования и единственности решений этих задач, в малом, были получены и опубликованы автором ранее. Поэтому в данной работе рассматриваются исключительно вопросы устойчивости этих решений. В теореме 1 доказывается условная устойчивость решения обратной задачи об определении ядра интеграла для интегро-дифференциального уравнения
$$
u_{tt}=u_{xx}-\int_0^tk(\tau)u(x,t-\tau)\,d\tau,\qquad (x,t)\in\mathbb R\times\mathbb R_+,
$$
с начальными данными
$u\big|_{t=0}=0$,
$u_t\big|_{t=0}=\delta(x)$ и по дополнительной информации о решении прямой задачи
$u(0,t)=f_1(t)$,
$u_x(0,t)=f_2(t)$. С этой целью обратная задача заменяется эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций. Для доказательства теоремы применяется метод последовательных приближений. Далее, используются метод оценок интегральных уравнений и неравенство Гронуолла. Аналогично доказываемая теорема 2 посвящается оценке условной устойчивости решения обратной задачи об определении ядра интеграла для того же интегро-дифференциального уравнения, в ограниченной по
$x$ области
$x\in(0,l)$, с начальными
$u\big|_{t=0}=0$,
$u_t\big|_{t=0}=\delta'(x)$ и граничными условиями
$(u_x-hu)\big|_{x=0}=0$,
$(u_x+Hu)\big|_{x=l}=0$,
$t>0$. В этом случае дополнительная информация о решении прямой задачи задается в виде
$u(0,t)=f(t)$,
$t\geqslant0$. Здесь
$h,H$ – вещественные и конечные числа.
Ключевые слова:
интегро-дифференциальное уравнение, обратная задача, устойчивость, дельта-функция, ядро.
УДК:
517.958
MSC: 35L70,
58J45 Поступила в редакцию: 20.05.2014