Эта публикация цитируется в
6 статьях
МАТЕМАТИКА
О свойстве равномерной полной управляемости линейной управляемой системы с дискретным временем
В. А. Зайцев,
С. Н. Попова,
Е. Л. Тонков Кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
Аннотация:
Исследовано свойство равномерной полной управляемости (по Калману) линейной управляемой системы с дискретным временем
\begin{equation}
x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),\quad t\in\mathbb N_0,\quad (x,u)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^m.
\end{equation}
Установлено, что если система (1) равномерно вполне управляема, то матрица
$A(\cdot)$ вполне ограничена на
$\mathbb N_0$ (т.е. $\sup_{t\in\mathbb N_0}(|A(t)|+|A^{-1}(t)|)<+\infty$), а матрица
$B(\cdot)$ ограничена на
$\mathbb N_0$. Доказано, что система (1) равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда при некотором
$\vartheta\in\mathbb N$ при всех
$\tau\in\mathbb N_0$ для матриц
\begin{gather*}
W_1(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1}X(t,s+1)B(s)B^*(s)X^*(t,s+1),\\
W_2(t,\tau)\doteq\sum_{s=\tau}^{t-1}X(\tau,s+1)B(s)B^*(s)X^*(\tau,s+1)
\end{gather*}
выполнены неравенства $\alpha_1I\leqslant W_1(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_1I$, $\alpha_2I\leqslant W_2(\tau+\vartheta,\tau)\leqslant\beta_2I$ с некоторыми положительными
$\alpha_i$ и
$\beta_i$. На основании этого утверждения доказан критерий равномерной полной управляемости системы (1), аналогичный критерию Тонкова равномерной полной управляемости систем с непрерывным временем: система (1)
$\vartheta$-равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда матрица
$A(\cdot)$ вполне ограничена на
$\mathbb N_0$; матрица
$B(\cdot)$ ограничена на
$\mathbb N_0$; существует число
$\ell=\ell(\vartheta)>0$ такое, что для любого
$\tau\in\mathbb N_0$ и для любого
$x_1\in\mathbb R^n$ существует управление
$u(t)$,
$t\in[\tau,\tau+\vartheta)$, которое переводит решение системы (1) из точки
$x(\tau)=0$ в точку
$x(\tau+\vartheta)=x_1$, при этом выполнено неравенство
$|u(t)|\leqslant\ell|x_1|$,
$t\in[\tau,\tau+\vartheta)$.
Ключевые слова:
линейная управляемая система, дискретное время, равномерная полная управляемость.
УДК:
517.977.1+
517.929.2
MSC: 93B05,
93C05,
93C55 Поступила в редакцию: 15.08.2014