Граф рефлексивно-транзитивных отношений и граф конечных топологий

Любое бинарное отношение $\sigma\subseteq X^2$ (где $X$ – произвольное множество) порождает на множестве $X^2$ характеристическую функцию: если $(x,y)\in\sigma$, то $\sigma(x,y)=1$, а иначе $\sigma(x,y)=0$. В терминах характеристических функций на множестве всех бинарных отношений множества $X$ вводится понятие бинарного рефлексивного отношения смежности и определяется алгебраическая система, состоящая из всех бинарных отношений множества и из всех неупорядоченных пар различных смежных бинарных отношений. Если $X$ – конечное множество, то эта алгебраическая система – граф (“граф графов”).
Показано, что если $\sigma$ и $\tau$ – смежные отношения, то $\sigma$ является рефлексивно-транзитивным отношением тогда и только тогда, когда $\tau$ является рефлексивно-транзитивным отношением. Исследованы некоторые особенности строения графа $G(X)$ рефлексивно-транзитивных отношений. В частности, если $X$ состоит из $n$ элементов, а $T_0(n)$ – это число помеченных $T_0$-топологий, определенных на множестве $X,$ то количество компонент связности равно $\sum_{m=1}^nS(n,m)T_0(m-1)$, где $S(n,m)$ – числа Стирлинга $2$-го рода. (Хорошо известно, что количество вершин в графе $G(X)$ равно $\sum_{m=1}^nS(n,m)T_0(m)$.)