Высокоточное параметрическое уравнение траектории тяжелой точки в воздушной среде с квадратичным сопротивлением при продольном и боковом ветре

Проективно-двойственные переменные использованы для описания геометрии движения точечной массы в движущейся системе наблюдения, связанной с воздушной средой, характеризующейся квадратичным по скорости законом для лобового сопротивления. Через обратный переход к неподвижной системе и обратное преобразование Лагранжа выведены степенные формулы для абсолютных координат и времени: $x(b)$, $y(b)$, $z(b)$ и $t(b)$, $b=\operatorname{tg}\Theta$ – наклон относительной траектории, в области малых углов вылета $\Theta_0<15^\circ$. Выражения используют ключевые параметры движения: $b_0=\operatorname{tg}\Theta_0$, $\Theta_0$ – угол вылета, $R_a$ – вершинный радиус кривизны траектории и $\beta_0$ – отношение квадрата разворотной скорости к квадрату предельной скорости. Малое отклонение полученных аппроксимаций от классических интегральных выражений обусловлено эффектом автоподстройки, заключающемся в уменьшении параметра $\beta_0$ с ростом начального наклона траектории $b_0$. Для стартовых сил сопротивления, не превышавших 1.15 mg, и скоростей ветра, меньших 40 м/с, и в вышеуказанном интервале углов вылета абсолютные погрешности составляли величины порядка дециметров, а относительные не превышали десятых долей процента. Ввиду того, что численная реализация формул “почти” алгебраическая, они могут быть внедрены в простейшие баллистические калькуляторы как используемые для стрельбы в условиях ветра, так и с движущегося орудия/по движущейся мишени.