Вырожденные уравнения Вольтерра типа свертки в банаховых пространствах и их приложения

Изучен вопрос однозначной разрешимости линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах с необратимым оператором в главной части. Операторнозначное ядро имеет специальный вид $K(t, s) = g(t -s)A$, где $g = g(t)$ — числовая функция, $A$ — линейный оператор. Именно в такой форме эти уравнения часто встречаются в приложениях. Для их исследования становится возможным применение структурной теории пучков двух линейных операторов, которая в настоящее время наиболее полно разработана Г. А. Свиридюком и его учениками. Еще одна особенность изучаемых в данной работе задач состоит в наличии у функции $g = g(t)$ кратного нуля в точке $t = 0$. В предположении спектральной ограниченности оператора $A$ относительно вырожденной главной части уравнений построены фундаментальные оператор-функции соответствующих интегральных и интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах. На этой основе доказаны теоремы существования и единственности решений рассматриваемых задач в классе распределений с ограниченным слева носителем. Установлена зависимость порядка сингулярности обобщенных решений от кратности нуля интегрального ядра в начальной точке. Получены условия, при которых обобщенные решения совпадают с классическими. Теоремы, сформулированные для абстрактных уравнений, применены к исследованию содержательных начально-краевых задач, возникающих в физике плазмы и математической теории упругости.