Исследование глобальных свойств замкнутой нерегулярной гиперповерхности с биективным гауссовым отображением с помощью функции уровня

Строение замкнутых и незамкнутых регулярных гиперповерхностей с инъективным гауссовым отображением достаточно хорошо изучено. При решении ряда задач дифференциальной геометрии может оказаться, что искомая гиперповерхность с биективным гауссовым отображением будет нерегулярной. В настоящей статье изучаются глобальные свойства нерегулярных замкнутых гиперповерхностей в четырехмерном евклидовом пространстве, особое множество которых является объединением замкнутых ориентируемых двумерных многообразий. В работе используются: теория Морса, свойства полярного преобразования относительно гиперсферы, теорема Гаусса–Бонне, методы классической дифференциальной геометрии гиперповерхностей и поверхностей, коразмерность которых больше 1. Доказано, что при некоторых условиях компонентами особого множества рассматриваемых гиперповерхностей могут быть только торы и сферы, причем вдоль сферы касаются друг друга выпуклая и седловая компоненты регулярности. Выяснено, что замкнутая нерегулярная гиперповерхность с «отсекаемыми» краями и биективным гауссовым отображением состоит из двух локально выпуклых компонент, гомеоморфных трехмерному шару, и одной седловой компоненты, гомеоморфной топологическому произведению двумерной сферы на отрезок. Построены примеры замкнутых невыпуклых гиперповерхностей с биективным гауссовым отображением.