О задаче минимальной реализации

Предполагается, что для линейной конечномерной стационарной динамической системы $\Sigma$ с дискретным временем известна степень МакМиллана $\delta$ и конечная последовательность ее марковскиx параметров $G_1,\ldots,G_m$, $m\geqslant 2\delta$. Рассматриваются задачи восстановления по этим данным переходной матрицы-функции $G(z)$ системы, минимальных индексов и взаимно простых дробных факторизаций $G(z)$, минимальных решений соответствующих уравнений Безу, минимальной реализации $\Sigma$. Для каждой из них существует отдельный алгоритм решения. В данной работе предлагается единый подход к исследованию этих проблем. Он основан на методе индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц. Этот метод был ранее разработан для явного решения задачи факторизации Винера–Хопфа мероморфных матриц-функций. Показано, что решение всех вышеуказанных задач может быть получено, как только будут найдены индексы и существенные многочлены последовательности $G_1,\ldots,G_m$. Вычисление индексов и существенных многочленов можно осуществить средствами линейной алгебры. Для матриц с элементами из поля рациональных чисел алгоритм реализован в среде Maple в виде процедуры ExactEssPoly.