Квадратурные формулы высокого порядка аппроксимации

В работе предлагается метод построения квадратурной формулы высокого порядка аппроксимации для широкого класса областей, основанный на приближении гладкой функции на плоскости полулокальным сглаживающим сплайном или $S$-сплайном. Полулокальные сглаживающие сплайны были введены Д. А. Силаевым. Ранее рассматривались и применялись сплайны 3-й и 5-й степени. Настоящая работа посвящена использованию $S$-сплайнов более высоких степеней. Появление устойчивых $S$-сплайнов класса $C^0$ (только непрерывных), состоящих из полиномов высокой степени $n$ ($n=9, 10$) позволило получить квадратурные формулы 10-го и 11-го порядков аппроксимации. Предполагается, что интегрируемая функция принадлежит классу $C^p$ ($p=10, 11$) в несколько большей области, чем исходная область, по которой ведется интегрирование. Предполагается также, что граница области задана параметрически, что позволяет с высокой степенью точности учесть границу области. Подобный подход возможен и для построения кубатурных формул.