Introducing a power of the operator in direct spectral problems

Резольвентный метод, предложенный еще в 90-х гг В. А. Садовничим и В. В. Дубровским, с успехом применим как в прямых спектральных задачах при вычислении асимптотики собственных чисел возмущенного оператора или формул регуляризованных следов, так и в обратных — при восстановлении потенциала. Однако, применение этого метода вызывает затруднения в тех случаях, когда резольвента невозмущенного оператора оказывается неядерной. Поэтому ряд физических задач, как известно, приходится рассматривать только на интервале. В данной работе приведено обоснование перехода к степени оператора для расширения области применения резольвентного метода. Рассмотрен вопрос о вычислении регуляризованного следа оператора Лапласа на параллелепипеде произвольной размерности. Показано, что для любой фиксированной размерности возможно подобрать нужную степень оператора и вычислить регуляризованный след. Актуальность этих исследований обусловлена необходимостью изучения важных прикладных задач, в частности, в области гидродинамики, радиоэлектроники, теории упругости, квантовой механики и других.