Sobolev type equations in spaces of differential forms on Riemannian manifolds without boundary

Статья содержит обзор результатов, полученных автором как самостоятельно, так и в соавторстве с другими представителями Челябинской научной школы Г.А. Свиридюка по « Уравнениям соболевского типа» в специфических пространствах, а именно пространствах дифференциальных форм, заданных на каком-либо римановом многообразии без края. Уравнения соболевского типа относятся к неклассическим уравнениям математической физики и характеризуются необратимым оператором при старшей производной. При рассмотрении в наших пространствах пришлось использовать специальные обобщения операторов на пространство дифференциальных форм, в частности, оператор Лапласа заменили на его обобщение – оператор Лапласа – Бельтрами. Рассмотрены конкретные интерпритации уравнений с относительно ограниченными операторами: линейное Баренблатта – Желтова – Кочиной, линейное и полулинейное Хоффа, линейное Осколкова. Для этих уравнений исследованы в различных случаях разрешимость задач Коши, Шоуолтера – Сидорова и начально-конечной. В зависимости от выбора типа уравнения (линейное или полулинейное) применялась соответствующая модификация метода фазового пространства. Для использования этого метода, основанного на расщеплении области определения и действия соответствующих операторов, в пространствах дифференциальных форм базой служит теорема Ходжа – Кодаиры о расщеплении области определения оператора Лапласа – Бельтрами.