System analysis of classification of prime knots and links in thickened surfaces of genus 1 and 2

В данной работе представлен системный анализ подходов к классификации примарных узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях рода 1 и 2, полученной автором совместно с С.В. Матвеевым и В.В. Таркаевым в 2012 – 2020 гг. Алгоритм классификации формирует структуру настоящей статьи. Результаты классификации рассматриваются в разрезе системного анализа основных идей ключевых шагов алгоритма. Во-первых, мы строим примарные проекции. Для этого мы определяем понятие примарной проекции зацепления, перечисляем графы специального вида, чье вложение в поверхность может быть примарной проекцией, перечисляем проекции на поверхности и показываем, что все полученные проекции примарны и не эквивалентны, используя ряд инвариантов проекций. Во-вторых, мы строим примарные зацепления. Для этого мы определяем понятие примарного зацепления, строим предварительное множество диаграмм, используем инварианты зацеплений, чтобы сформировать классы эквивалентностей зацеплений и показать, что полученные диаграммы не эквивалентны, и доказываем примарность полученных зацеплений. При этом, на каждом этапе используемые методы и вводимые понятия характеризуются в разрезе двух случаев (род 1 и 2), выделяются как общие, так и характерные только для одного из рассматриваемых случаев свойства. Интерес представляют сводные таблицы, в которых классифицированные проекции систематизированы по свойствам: порождающий граф, род, число компонент и перекрестков, наличие или отсутствие двуугольной грани, что облегчает дальнейшую работу с предлагаемой классификацией проекций и зацеплений.