Распределение квадратов и проверка гипотез в нечетных разбиениях чисел

В статье рассматриваются разбиения натурального числа $n$, части которого различны, нечетны и их произведение не является квадратом. Такие разбиения применимы для определения ранга группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы. Количество разбиений растет экспоненциально, следовательно, задача перебора является вычислительно затратной. В статье предложен параллельный алгоритм в общей памяти для нахождения количества разбиений числа $n$ с дополнительными условиями. Алгоритм основан на концепции распараллеливания по данным и использовании вложенного параллелизма. Выделяется множество длин $K$ разбиения числа $n$, элементы которого обрабатываются параллельно. Во время обработки длины $k$ разбиения числа $n$ выделяется множество уровней $L$, рассмотрение которого также выполняется параллельно. Приемлемые значения ускорения и параллельной эффективности предложенного алгоритма получаются при использовании двух нитей на параллельный регион по длинам и двух — по уровням. Таким образом, ускорение при разных $n$ превышает $2.1$, а параллельная эффективность не опускается ниже $50\%$. Полученные результаты использованы для проверки гипотез Каргаполова и анализа распределения значений нечетных разбиений на некоторых диапазонах. Предложен алгоритм поиска оптимального коэффициента $c$. С помощью этого алгоритма получена асимптотическая формула количества разбиения числа $n$, в котором части различны и нечетны, а их произведение является квадратом. Эта формула основана на экспериментальных данных и сформулирована как гипотеза.