О крайних собственных значениях блочных $2\times2$ эрмитовых матриц

Установлена нижняя оценка
$$ \lambda_1(A)-\lambda_n(A)\ge2\|A_{12}\| $$
для разности старшего и младшего собственных значений блочной $2\times2$ эрмитовой матрицы $A=\left[\smallmatrix A_{11}&A_{12}\\A^*_{12}&A_{22}\endsmallmatrix\right]$ порядка $n$ и сформулированы условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эта оценка достигалась на $A$. Приведены некоторые следствия этого результата. В частности, для положительно определенной матрицы $A$ доказано, что $\lambda_1(A)-\lambda_n(A)=2\|A_{12}\|$ тогда и только тогда, когда $A$ оптимально обусловлена, а для крайних собственных значений таких матриц получены явные выражения. Библ. – 5 назв.