Нижние оценки перроновского корня суммы неотрицательных матриц

Пусть $A^{(l)}$ $(l=1,\dots,k)$ – неотрицательные $n\times n$ матрицы, для которых $u^{(l)}$ и $v^{(l)}$ являются соответственно правыми и левыми перроновскими векторами, а $D^{(l)}$ и $E^{(l)}$ $(l=1,\dots,k)$ – положительно определенные диагональные матрицы того же порядка. Обобщая известные результаты, в предположении, что
$$ u^{(1)}\circ v^{(1)}=\dots=u^{(k)}\circ v^{(u)}\ne0 $$
("$\circ$" обозначает покомпоентное, т.е. адамаровское, произведение векторов), но без предположения о неприводимости матриц $A^{(l)}$для перроновского корня суммы матриц $\sum^k_{l=1}D^{(l)}A^{(l)}E^{(l)}$ мы устанавливаем нижнюю оценку вида
$$ \rho\left(\sum^k_{l=1}D^{(l)}A^{(l)}E^{(l)}\right)\ge\sum^{k}_{l=1}\beta_l\rho(A^{(l)}),\quad\beta_l>0. $$
Также мы доказываем, что для произвольных неприводимых неотрицательных $n\times n$ матриц $A^{(l)}(l=1,\dots,k)$ верно неравенство
$$ \rho\left(\sum^{k}_{l=1}A^{(l)}\right)\ge\sum^k_{l=1}\alpha_l\rho(A^{(l)}), $$
в котором коэффициенты $\alpha_l>0$ определяются произвольно выбранным нормированным положительным вектором. Анализируются случаи обращения в равенства обеих оценок, а также устанавливаются некоторые другие результаты. Библ. – 9 назв.