Аппроксимационные свойства $\mathrm{AP}_s$ и $p$-ядерные операторы (случай $0<s\le1$)

Изучаются банаховы пространства, обладающие (или не обладающие) аппроксимационными свойствами $AP_s$, $0<s\le1$, в связи со следующим известным вопросом в геометрической теории операторов: при каких условиях на банаховы пространства $X$ и $Y$ и на положительные числа $r,p$ для непрерывного оператора $T$ из $X$ в $Y$ из $p$-ядерности его второго сопряженного будет следовать $r$-ядерность самого оператора $T$. Приводятся, по существу, необходимые и достаточные условия для положительного ответа на этот вопрос, причем соответствующие контрпримеры устанавливаются в максимально сильной форме. Так, например, показывается (и это – значительное усиление предыдущих результатов подобного сорта), что существует такая пара сепарабельных банаховых пространств $Z$, $W$, что пространства $Z^{**}$ и $W$ имеют базисы Шаудера и для каждого $p$, $1\le p<2$ найдется не $p$-ядерный оператор из $W$ в $Z$ с $p$-ядерным вторым сопряженным. Ранее в подобного рода примерах соответствующие пространства не обладали даже свойством аппроксимации Гротендика. Техника, развитая в работе, не позволяет разобраться со случаем $p>2$, и это – тема последующей статьи автора. Библ. – 11 назв.