О верхних гранях констант Лебега методов суммирования рядов Фурье–Якоби

Пусть $P^{(\alpha,\beta)}_k$ – многочлены Якоби, $C[a,b]$ –пространство непрерывных на $[a,b]$ функций с равномерной нормой. В работе исследуются последовательности констант Лебега – норм линейных операторов $\mathscr U^{\Lambda}_n\colon C[-1,1]\to C[-1,1]$, задаваемых матрицей множителей $\Lambda=\{\lambda^{(n)}_k\}$:
\begin{gather*} f\sim\sum^{\infty}_{k=0}a_kP^{(\alpha,\beta)}_k, \qquad \mathscr U^{\Lambda}_nf\sim\sum^{\infty}_{k=0}\lambda^{(n)}_ka_kP^{(\alpha,\beta)}, \\ \mathfrak L^{(\alpha,\beta)}_n(\Lambda)=\sup_{y\in[-1,1]}\sup_{\|f\|\le1}\left|\mathscr U^{\Lambda}_nf(y)\right|. \end{gather*}
Для многочленов Якоби при $|\alpha|=|\beta|=1/2$ доказаны следующие утверждения, аналогичные известным для тригонометрической системы. Если функция $\varphi$ удовлетворяет некоторым условиям, то в следующих случаях:
\begin{gather*} 1)\quad \alpha=\beta=-1/2, \quad \lambda^{(n)}_k=\varphi(k/n); \\ 2)\quad \alpha=\beta=1/2, \quad \lambda^{(n)}k=\varphi((k+1)/n); \\ 3)\quad \alpha=\beta=\pm1/2, \quad \lambda^{(n)}_k=\varphi((k+1/2)/n) \end{gather*}
величины $\sup\limits_{n\in\mathbb N}\mathfrak L^{(\alpha,\beta)}_n(\Lambda)$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\mathfrak L^{(\alpha,\beta)}_n(\Lambda)$ равны:
$$ 1)\quad \frac2\pi\int\limits^{\infty}_0\left|\int\limits^{\infty}_0\varphi(t)\cos zt\,dt\right|dz; \qquad 2,\ 3)\quad \frac2\pi\int\limits^{\infty}_0z\left|\int\limits^{\infty}_0t\varphi(t)\sin zt\,dt\right|dz. $$
Кроме того, показано, что для методов суммирования рядов Фурье–Лежандра $(\alpha=\beta=0)$, порождённых функцией множителей: $\lambda^{(n)}_k=\varphi(k/n),$ предел и верхняя грань последовательности констант Лебега могут не совпадать. Библ. – 11 назв.